Identitetstransformationer af udtryk

I denne publikation vil vi overveje hovedtyperne af identiske transformationer af algebraiske udtryk, ledsage dem med formler og eksempler for at demonstrere deres anvendelse i praksis. Formålet med sådanne transformationer er at erstatte det oprindelige udtryk med et identisk ens.

Omarrangering af vilkår og faktorer

I enhver sum kan du omarrangere vilkårene.

a + b = b + a

I ethvert produkt kan du omarrangere faktorerne.

a ⋅ b = b ⋅ a

eksempler:

• 1 + 2 = 2 + 1
• 128 ⋅ 32 = 32 ⋅ 128

Gruppering af termer (multiplikatorer)

Hvis der er mere end 2 led i summen, kan de grupperes i parentes. Hvis det er nødvendigt, kan du først bytte dem.

a + b + c + d = (a + c) + (b + d)

I produktet kan du også gruppere faktorerne.

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = (a ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c)

eksempler:

• 15 + 6 + 5 + 4 = (15 + 5) + (6 + 4)
• 6 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 4 = (6 ⋅ 4 ⋅ 8) ⋅ 11

Addition, subtraktion, multiplikation eller division med det samme tal

Hvis det samme tal lægges til eller trækkes fra til begge dele af identiteten, så forbliver det sandt.

If a + b = c + dderefter (a + b) ± e = (c + d) ± e.

Ligestillingen vil heller ikke blive krænket, hvis begge dens dele multipliceres eller divideres med det samme tal.

If a + b = c + dderefter (a + b) ⋅/: e = (c + d) ⋅/: e.

eksempler:

• 35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ (35 + 10) + 4 = (9 + 16 + 20) + 4
• 42 + 14 = 7 ⋅ 8 ⇒ (42 + 14) ⋅ 12 = (7 ⋅ 8) ⋅ 12

Udskiftning af en forskel med en sum (ofte et produkt)

Enhver forskel kan repræsenteres som en sum af led.

a – b = a + (-b)

Det samme trick kan anvendes til division, dvs. udskift hyppigt med produkt.

a : b = a ⋅ b^-1

eksempler:

• 76 – 15 – 29 = 76 + (-15) + (-29)
• 42 : 3 = 42 ⋅ 3^-1

Udførelse af aritmetiske operationer

Du kan forenkle et matematisk udtryk (nogle gange betydeligt) ved at udføre aritmetiske operationer (addition, subtraktion, multiplikation og division), under hensyntagen til de generelt accepterede rækkefølge for udførelse:

• først hæver vi til en potens, udtrækker rødderne, beregner logaritmer, trigonometriske og andre funktioner;
• så udfører vi handlingerne i parentes;
• til sidst – fra venstre mod højre, udfør de resterende handlinger. Multiplikation og division har forrang for addition og subtraktion. Dette gælder også for udtryk i parentes.

eksempler:

• 14 + 6 ⋅ (35 – 16 ⋅ 2) + 11 ⋅ 3 = 14 + 18 + 33 = 65
• 20 : 4 + 2 ⋅ (25 ⋅ 3 – 15) – 9 + 2 ⋅ 8 = 5 + 120 - 9 + 16 = 132

Udvidelse af beslag

Parenteser i et aritmetisk udtryk kan fjernes. Denne handling udføres i henhold til visse - afhængigt af hvilke tegn ("plus", "minus", "multiplikér" eller "divider"), der er før eller efter parenteserne.

eksempler:

• 117+ (90 – 74 – 38) = 117 + 90 – 74 – 38
• 1040 – (-218 – 409 + 192) = 1040 + 218 + 409 – 192
• 22⋅(8+14) = 22 ⋅ 8 + 22 ⋅ 14
• 18: (4 – 6) = 18: 4-18: 6

Indstilling af den fælles faktor

Hvis alle led i udtrykket har en fælles faktor, kan den tages ud af parentes, hvori termerne divideret med denne faktor forbliver. Denne teknik gælder også for bogstavelige variabler.

eksempler:

• 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 = 5⋅(3+6)
• 28 + 56 – 77 = 7 ⋅ (4 + 8 – 11)
• 31x + 50x = x ⋅ (31 + 50)

Anvendelse af forkortede multiplikationsformler

Du kan også bruge til at udføre identiske transformationer af algebraiske udtryk.

eksempler:

• (31 + 4)² = 31² + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4² = 1225
• 26² - 7² = (26 – 7) ⋅ (26 + 7) = 627