Udtræk roden af ​​et komplekst tal

I denne publikation vil vi se på, hvordan du kan tage roden af ​​et komplekst tal, og også hvordan dette kan hjælpe med at løse andengradsligninger, hvis diskriminant er mindre end nul.

Udtræk roden af ​​et komplekst tal

Kvadrat rod

Som vi ved, er det umuligt at tage roden af ​​et negativt reelt tal. Men når det kommer til komplekse tal, kan denne handling udføres. Lad os finde ud af det.

Lad os sige, at vi har et nummer z = -9. Forum √-9 der er to rødder:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Lad os kontrollere de opnåede resultater ved at løse ligningen z² = -9, ikke at forglemme det i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Det har vi altså bevist -3i и 3i er rødder √-9.

Roden af ​​et negativt tal skrives normalt sådan:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i etc.

Rod til magten af ​​n

Antag, at vi får formligninger z = ⁿ√w… Det har n rødder (z₀, Af₁, Af₂,…, z_n-1), som kan beregnes ved hjælp af formlen nedenfor:

|w| er modulet af et komplekst tal w;

φ – hans argumentation

k er en parameter, der tager værdierne: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Kvadratiske ligninger med komplekse rødder

Udtrækning af roden af ​​et negativt tal ændrer den sædvanlige idé om uXNUMXbuXNUMXb. Hvis diskriminanten (D) er mindre end nul, så kan der ikke være reelle rødder, men de kan repræsenteres som komplekse tal.

Eksempel

Lad os løse ligningen x² – 8x + 20 = 0.

Løsning

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, men vi kan stadig tage roden til den negative diskriminant:

√D = √-16 = ±4i

Nu kan vi beregne rødderne:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Derfor ligningen x² – 8x + 20 = 0 har to komplekse konjugerede rødder:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i