Hæve et komplekst tal til en naturlig magt

I denne publikation vil vi overveje, hvordan et komplekst tal kan hæves til en potens (herunder ved hjælp af De Moivre-formlen). Det teoretiske materiale er ledsaget af eksempler for bedre forståelse.

Hæve et komplekst tal til en potens

Først skal du huske, at et komplekst tal har den generelle form: z = a + bi (algebraisk form).

Nu kan vi gå direkte videre til løsningen af ​​problemet.

Kvadratnummer

Vi kan repræsentere graden som et produkt af de samme faktorer og derefter finde deres produkt (mens vi husker det i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Eksempel 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Du kan også bruge, nemlig kvadratet af summen:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Bemærk: På samme måde kan man om nødvendigt få formler for kvadratet af forskellen, terningen af ​​summen/forskellen osv.

N. grad

Hæv et komplekst tal z venligt n meget lettere, hvis det er repræsenteret i trigonometrisk form.

Husk, at notationen af ​​et tal generelt ser sådan ud: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Til eksponentiering kan du bruge De Moivres formel (så opkaldt efter den engelske matematiker Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Formlen fås ved at skrive på trigonometrisk form (modulerne ganges, og argumenterne tilføjes).

Eksempel 2

Hæv et komplekst tal z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) til ottende grad.

Løsning

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).