Gauss-metode til SLAE-løsning

I denne publikation vil vi overveje, hvad den Gaussiske metode er, hvorfor den er nødvendig, og hvad dens princip er. Vi vil også demonstrere ved hjælp af et praktisk eksempel, hvordan metoden kan anvendes til at løse et system af lineære ligninger.

Beskrivelse af Gauss-metoden

Gauss metode er den klassiske metode til sekventiel eliminering af variabler, der bruges til at løse. Den er opkaldt efter den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss (1777-1885).

Men lad os først huske, at SLAU kan:

• har én enkelt løsning;
• har et uendeligt antal løsninger;
• være uforenelige, dvs. ikke have nogen løsninger.

Praktiske fordele

Gauss-metoden er en fantastisk måde at løse en SLAE, der omfatter mere end tre lineære ligninger, samt systemer, der ikke er kvadratiske.

Gauss-metodens princip

Metoden omfatter følgende trin:

1. lige – den udvidede matrix, der svarer til ligningssystemet, reduceres over rækkerne til den øverste trekantede (trindelte) form, dvs. under hoveddiagonalen bør kun være elementer lig med nul.
2. tilbage – i den resulterende matrix er elementerne over hoveddiagonalen også sat til nul (nederste trekantede visning).

Eksempel på SLAE-løsning

Lad os løse systemet af lineære ligninger nedenfor ved hjælp af Gauss-metoden.

Løsning

1. Til at begynde med præsenterer vi SLAE i form af en udvidet matrix.

2. Nu er vores opgave at nulstille alle elementer under hoveddiagonalen. Yderligere handlinger afhænger af den specifikke matrix, nedenfor vil vi beskrive dem, der gælder for vores sag. Først bytter vi rækkerne og placerer dermed deres første elementer i stigende rækkefølge.

3. Træk fra den anden række to gange den første, og fra den tredje - tredoble den første.

4. Tilføj den anden linje til den tredje linje.

5. Træk den anden linje fra den første linje, og divider samtidig den tredje linje med -10.

6. Første etape er afsluttet. Nu skal vi have nul-elementerne over hoveddiagonalen. For at gøre dette skal du trække den tredje ganget med 7 fra den første række og lægge den tredje ganget med 5 til den anden.

7. Den endelige udvidede matrix ser sådan ud:

8. Det svarer til ligningssystemet:

Svar: rod SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.