Lineært afhængige og uafhængige rækker: definition, eksempler

I denne publikation vil vi overveje, hvad en lineær kombination af strenge er, lineært afhængige og uafhængige strenge. Vi vil også give eksempler til en bedre forståelse af det teoretiske stof.

Definition af en lineær kombination af strenge

Lineær kombination (LK) sigt s₁Med₂, …, s_n matrix A kaldet et udtryk af følgende form:

a'er₁ + αs₂ + … + αs_n

Hvis alle koefficienter α_i er lig med nul, så LC er triviel. Med andre ord er den trivielle lineære kombination lig med nulrækken.

For eksempel: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

Følgelig, hvis mindst en af ​​koefficienterne α_i er ikke lig med nul, så er LC ikke-triviel.

For eksempel: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Lineært afhængige og uafhængige rækker

Strengesystemet er lineært afhængig (LZ), hvis der er en ikke-trivial lineær kombination af dem, som er lig med nullinjen.

Derfor følger det, at en ikke-triviel LC i nogle tilfælde kan være lig med nul-strengen.

Strengesystemet er lineært uafhængig (LNZ), hvis kun den trivielle LC er lig med nul-strengen.

Bemærkninger:

• I en kvadratisk matrix er rækkesystemet kun en LZ, hvis determinanten af ​​denne matrix er nul (og = 0).
• I en kvadratisk matrix er rækkesystemet kun en LIS, hvis determinanten af ​​denne matrix ikke er lig med nul (og ≠ 0).

Eksempel på et problem

Lad os finde ud af, om strengesystemet er det {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} lineært afhængig.

Afgørelse:

1. Lad os først lave en LC.

α₁{3 4} + a₂{9 12}.

2. Lad os nu finde ud af, hvilke værdier der skal tages α₁ и α₂så den lineære kombination er lig med nulstrengen.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. Lad os lave et ligningssystem:

4. Divider den første ligning med tre, den anden med fire:

5. Løsningen af ​​dette system er enhver α₁ и α₂, Med α₁ = -3a₂.

For eksempel, hvis α₂ = 2derefter α₁ = -6. Vi erstatter disse værdier i ligningssystemet ovenfor og får:

Svar: så linjerne s₁ и s₂ lineært afhængig.