Højdeegenskaber for en retvinklet trekant

I denne publikation vil vi overveje hovedegenskaberne for højden i en retvinklet trekant og også analysere eksempler på løsning af problemer om dette emne.

Bemærk: trekanten kaldes rektangulære, hvis en af ​​dens vinkler er ret (lig med 90°), og de to andre er spidse (<90°).

Højdeegenskaber i en retvinklet trekant

Ejendom 1

En retvinklet trekant har to højder (h₁ и h₂) falder sammen med dens ben.

tredje højde (h₃) går ned til hypotenusen fra en ret vinkel.

Ejendom 2

Ortocentret (skæringspunktet for højder) af en retvinklet trekant er i toppunktet for den rette vinkel.

Ejendom 3

Højden i en retvinklet trekant tegnet til hypotenusen deler den i to ens retvinklede trekanter, som også ligner den oprindelige.

1. △USA ~ △ABC i to lige store vinkler: ∠ADB = ∠LAC (lige linjer), ∠USA = ∠ABC.

2. △ADC ~ △ABC i to lige store vinkler: ∠ADC = ∠LAC (lige linjer), ∠ACD = ∠ACB.

3. △USA ~ △ADC i to lige store vinkler: ∠USA = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

Bevis: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). Samtidig ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Derfor ∠BAD = ∠ACD.

Det kan bevises på lignende måde, at ∠USA = ∠DAC.

Ejendom 4

I en retvinklet trekant beregnes højden tegnet til hypotenusen som følger:

1. Gennem segmenter på hypotenusen, dannet som et resultat af dens division med højdens base:

2. Gennem længderne af trekantens sider:

Denne formel er afledt af Egenskaber for sinus af en spids vinkel i en retvinklet trekant (vinklens sinus er lig med forholdet mellem det modsatte ben og hypotenusen):

Bemærk: til en retvinklet trekant gælder de generelle højdeegenskaber, der præsenteres i vores publikation – også.

Eksempel på et problem

Opgave 1

Hypotenusen af ​​en retvinklet trekant er divideret med højden trukket til den i segmenter 5 og 13 cm. Find længden af ​​denne højde.

Løsning

Lad os bruge den første formel præsenteret i Ejendom 4:

Opgave 2

Benene i en retvinklet trekant er 9 og 12 cm. Find længden af ​​højden tegnet til hypotenusen.

Løsning

Lad os først finde længden af ​​hypotenusen langs (lad trekantens ben være "til" и "B", og hypotenusen er "Vs"):

c² = A² + b² = 9² + 12² = 225.

Følgelig с = 15 cm.

Nu kan vi anvende den anden formel fra Egenskaber 4diskuteret ovenfor: