Indhold
I denne publikation vil vi overveje definitionen af rangeringen af en matrix, samt metoderne, hvormed den kan findes. Vi vil også analysere eksempler for at demonstrere anvendelsen af teori i praksis.
Bestemmelse af rangeringen af en matrix
Matrix rang er rangeringen af dets system af rækker eller kolonner. Enhver matrix har sine rækker og kolonner, som er ens med hinanden.
Rækkesystem rang er det maksimale antal lineært uafhængige rækker. Rangen af kolonnesystemet bestemmes på lignende måde.
Bemærkninger:
- Rangeringen af nulmatricen (angivet med symbolet "θ") af enhver størrelse er nul.
- Rangeringen af enhver rækkevektor eller kolonnevektor, der ikke er nul, er lig med én.
- Hvis en matrix af en hvilken som helst størrelse indeholder mindst ét element, der ikke er lig med nul, så er dets rangorden ikke mindre end én.
- Rangeringen af en matrix er ikke større end dens minimumsdimension.
- Elementære transformationer udført på en matrix ændrer ikke dens rang.
Finde rangeringen af en matrix
Fringing Minor Metode
Rangen af en matrix er lig med den maksimale rækkefølge af en ikke-nul.
Algoritmen er som følger: finde de mindreårige fra den laveste orden til den højeste. Hvis mindre norden er ikke lig med nul, og alle efterfølgende (n + 1) er lig med 0, så rangeringen af matrixen er n.
Eksempel
For at gøre det klarere, lad os tage et praktisk eksempel og finde rangeringen af matrixen A nedenfor, ved at bruge metoden til at grænse mindreårige.
Løsning
Vi har at gøre med en 4 × 4 matrix, derfor kan dens rang ikke være højere end 4. Der er også ikke-nul elementer i matrixen, hvilket betyder, at dens rang ikke er mindre end en. Så lad os komme i gang:
1. Begynd at tjekke mindreårige af anden orden. Til at begynde med tager vi to rækker af den første og anden kolonne.
Minor er lig med nul.
Derfor går vi videre til den næste mindre (den første kolonne forbliver, og i stedet for den anden tager vi den tredje).
Minor er 54≠0, så rangen af matrixen er mindst to.
Bemærk: Hvis denne minor viste sig at være lig nul, ville vi yderligere kontrollere følgende kombinationer:
Om nødvendigt kan optællingen fortsættes på samme måde med strenge:
- 1 og 3;
- 1 og 4;
- 2 og 3;
- 2 og 4;
- 3 og 4.
Hvis alle andenordens mindreårige var lig nul, så ville rangen af matrixen være lig med én.
2. Det lykkedes næsten med det samme at finde en mindreårig, der passede til os. Så lad os gå videre til mindreårige af tredje orden.
Til den fundne mindre af den anden orden, som gav et resultat, der ikke var nul, tilføjer vi en række og en af kolonnerne fremhævet med grønt (vi starter fra den anden).
Den mindreårige viste sig at være nul.
Derfor ændrer vi den anden kolonne til den fjerde. Og i andet forsøg lykkes det os at finde en minor, der ikke er lig med nul, hvilket betyder, at matrixens rang ikke kan være mindre end 3.
Bemærk: hvis resultatet viste sig at være nul igen, i stedet for anden række, ville vi tage den fjerde videre og fortsætte søgningen efter en "god" mol.
3. Nu er det tilbage at bestemme mindreårige af fjerde orden baseret på det, der blev fundet tidligere. I dette tilfælde er det en, der matcher matricens determinant.
Minor er lig med 144≠0. Det betyder, at rangeringen af matrixen A svarer til 4.
Reduktion af en matrix til en trinvis form
Rangen af en trinmatrix er lig med antallet af dens rækker, der ikke er nul. Det vil sige, at alt, hvad vi skal gøre, er at bringe matricen til den passende form, for eksempel ved at bruge , der, som vi nævnte ovenfor, ikke ændrer dens rang.
Eksempel
Find rangeringen af en matrix B under. Vi tager ikke et alt for komplekst eksempel, for vores hovedmål er blot at demonstrere metodens anvendelse i praksis.
Løsning
1. Træk først det fordoblede første fra den anden linje.
2. Træk nu den første række fra den tredje række ganget med fire.
Således fik vi en trinmatrix, hvor antallet af rækker, der ikke er nul, er lig med to, derfor er dens rang også lig med 2.