I denne publikation vil vi overveje en af hovedsætningerne i euklidisk geometri – Stewarts sætning, som modtog et sådant navn til ære for den engelske matematiker M. Stewart, som beviste det. Vi vil også analysere i detaljer et eksempel på løsning af problemet for at konsolidere det præsenterede materiale.
Udtalelse af teoremet
Dan trekant ABC. Ved hans side AC punkt taget D, som er forbundet til toppen B. Vi accepterer følgende notation:
- AB = a
- BC = b
- BD = s
- AD = x
- DC = og
For denne trekant er ligheden sand:
Anvendelse af teoremet
Ud fra Stewarts sætning kan der udledes formler til at finde medianerne og halveringslinjerne i en trekant:
1. Længden af halveringslinjen
Lade lc er halveringslinjen trukket til siden c, som er opdelt i segmenter x и y. Lad os tage de to andre sider af trekanten som a и b… I dette tilfælde:
2. Median længde
Lade mc er medianen vendt ned til siden c. Lad os betegne de to andre sider af trekanten som a и b… Derefter:
Eksempel på et problem
Trekant givet ABC. På siden AC lig med 9 cm, punkt taget D, som deler siden således at AD dobbelt så længe DC. Længden af segmentet, der forbinder toppunktet B og peg D, er 5 cm. I dette tilfælde den dannede trekant USA er ligebenet. Find de resterende sider af trekanten ABC.
Løsning
Lad os skildre betingelserne for problemet i form af en tegning.
AC = AD + DC = 9 cm. AD længere DC to gange, dvs AD = 2DC.
Følgelig 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Så, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Fordi trekant USA – ligebenet, og side AD er 6 cm, så de er lige store AB и BDIe AB = 5 cm.
Det er kun tilbage at finde BC, der udleder formlen fra Stewarts sætning:
Vi erstatter de kendte værdier i dette udtryk:
På denne måde BC = √52 ≈ 7,21 cm.