Hvad er grænsen for en funktion

I denne publikation vil vi overveje et af hovedbegreberne i matematisk analyse - grænsen for en funktion: dens definition samt forskellige løsninger med praktiske eksempler.

Bestemmelse af grænsen for en funktion

Funktionsgrænse – den værdi, som værdien af ​​denne funktion har tendens til, når dens argument tenderer mod grænsepunktet.

Grænsepost:

• grænsen er angivet med ikonet lim;
• nedenfor tilføjes hvilken værdi argumentet (variablen) af funktionen har en tendens til. Normalt dette x, men ikke nødvendigvis, for eksempel:x→1″;
• så tilføjes selve funktionen til højre, for eksempel:

  

Den endelige registrering af grænsen ser således ud (i vores tilfælde):

Læser som "grænse for funktionen, da x har en tendens til enhed".

x→ 1 – det betyder, at "x" konsekvent antager værdier, der uendeligt nærmer sig enhed, men som aldrig vil falde sammen med den (det vil ikke blive nået).

Beslutningsgrænser

Med et givet tal

Lad os løse ovenstående grænse. For at gøre dette skal du blot erstatte enheden i funktionen (fordi x→1):

For at løse grænsen prøver vi først blot at erstatte det givne tal i funktionen under det (hvis x har en tendens til et bestemt tal).

Med uendelighed

I dette tilfælde øges argumentet for funktionen uendeligt, dvs. "X" har en tendens til det uendelige (∞). For eksempel:

If x→∞, så har den givne funktion en tendens til minus uendelig (-∞), fordi:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 osv.

Endnu et mere komplekst eksempel

For at løse denne grænse skal du også blot øge værdierne x og se på funktionens "adfærd" i dette tilfælde.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Således for "X"tendens til det uendelige, funktionen x² + 3x - 6 vokser i det uendelige.

Med usikkerhed (x har en tendens til uendelig)

I dette tilfælde taler vi om grænser, når funktionen er en brøk, hvis tæller og nævner er polynomier. Hvori "X" har en tendens til det uendelige.

Eksempel: lad os beregne grænsen nedenfor.

Løsning

Udtrykkene i både tælleren og nævneren har en tendens til uendelig. Det kan antages, at løsningen i dette tilfælde vil være som følger:

Dog ikke alt så enkelt. For at løse grænsen skal vi gøre følgende:

1. Find x til den højeste effekt for tælleren (i vores tilfælde er det to).

2. På samme måde definerer vi x til den højeste potens for nævneren (er også lig med to).

3. Nu dividerer vi både tælleren og nævneren med x i senior grad. I vores tilfælde i begge tilfælde - i det andet, men hvis de var forskellige, skulle vi tage den højeste grad.

4. I det resulterende resultat har alle brøker en tendens til nul, derfor er svaret 1/2.

Med usikkerhed (x har en tendens til et bestemt tal)

Både tælleren og nævneren er polynomier, men "X" har en tendens til et bestemt tal, ikke til det uendelige.

I dette tilfælde lukker vi betinget øjnene for, at nævneren er nul.

Eksempel: Lad os finde grænsen for funktionen nedenfor.

Løsning

1. Lad os først erstatte tallet 1 i funktionen, hvortil "X". Vi får usikkerheden på den form, vi overvejer.

2. Dernæst dekomponerer vi tæller og nævner i faktorer. For at gøre dette kan du bruge de forkortede multiplikationsformler, hvis de er egnede, eller.

I vores tilfælde er rødderne af udtrykket i tælleren (2x² – 5x + 3 = 0) er tallene 1 og 1,5. Derfor kan det repræsenteres som: 2(x-1)(x-1,5).

Nævner (x-1) er i starten enkel.

3. Vi får sådan en ændret grænse:

4. Brøken kan reduceres med (x-1):

5. Det er kun tilbage at erstatte tallet 1 i udtrykket opnået under grænsen: