I denne publikation vil vi overveje en af de klassiske teoremer af affin geometri - Ceva-sætningen, som modtog et sådant navn til ære for den italienske ingeniør Giovanni Ceva. Vi vil også analysere et eksempel på løsning af problemet for at konsolidere det præsenterede materiale.
Udtalelse af teoremet
Trekant givet ABC, hvor hvert hjørne er forbundet med et punkt på den modsatte side.
Således får vi tre segmenter (AA', BB' и CC'), som kaldes cevians.
Disse segmenter skærer hinanden på et tidspunkt, hvis og kun hvis følgende lighed gælder:
|OG'| |IKKE'| |CB'| = |f.Kr.'| |FLYTTE'| |AB'|
Sætningen kan også præsenteres i denne form (det bestemmes i hvilket forhold punkterne deler siderne):
Cevas trigonometriske sætning
Bemærk: alle hjørner er orienteret.
Eksempel på et problem
Trekant givet ABC med prikker TIL', B ' и VS ' på siderne BC, AC и AB, henholdsvis. Trekantens hjørner er forbundet med de givne punkter, og de dannede segmenter passerer gennem et punkt. Samtidig er pointerne TIL' и B ' taget ved midtpunkterne af de tilsvarende modsatte sider. Find ud af, i hvilket forhold punktet VS ' deler siden AB.
Løsning
Lad os tegne en tegning i henhold til problemets betingelser. For nemheds skyld anvender vi følgende notation:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Det er kun tilbage at sammensætte forholdet mellem segmenterne i henhold til Ceva-sætningen og erstatte den accepterede notation i den:
Efter at have reduceret brøkerne får vi:
derfor AC' = C'B, altså punkt VS ' deler siden AB i halv.
Derfor, i vores trekant, segmenterne AA', BB' и CC' er medianer. Efter at have løst problemet beviste vi, at de skærer hinanden på et punkt (gyldigt for enhver trekant).
Bemærk: ved hjælp af Cevas sætning kan man bevise, at i en trekant i et punkt skærer halveringslinjen eller højderne også hinanden.