At finde den inverse matrix

I denne publikation vil vi overveje, hvad en invers matrix er, og også ved hjælp af et praktisk eksempel vil vi analysere, hvordan det kan findes ved hjælp af en speciel formel og en algoritme for sekventielle handlinger.

Definition af invers matrix

Lad os først huske, hvad gensidighed er i matematik. Lad os sige, at vi har tallet 7. Så vil dets omvendte være 7^-1 or ¹/₇. Hvis du multiplicerer disse tal, bliver resultatet et, altså 7 7^-1 = 1.

Næsten det samme med matricer. Omvendt en sådan matrix kaldes, multiplicerer som med den oprindelige, får vi identiteten. Hun er mærket som A^-1.

A · A^-1 =E

Algoritme til at finde den inverse matrix

For at finde den inverse matrix skal du kunne beregne matricer, samt have evnerne til at udføre bestemte handlinger med dem.

Det skal med det samme bemærkes, at det omvendte kun kan findes for en kvadratisk matrix, og dette gøres ved hjælp af formlen nedenfor:

|A| – matrixdeterminant;

A^T_M er den transponerede matrix af algebraiske tilføjelser.

Bemærk: hvis determinanten er nul, så eksisterer den inverse matrix ikke.

Eksempel

Lad os finde til matrixen A nedenfor er det omvendte af det.

Løsning

1. Lad os først finde determinanten for den givne matrix.

2. Lad os nu lave en matrix, der har samme dimensioner som den originale:

Vi skal finde ud af, hvilke tal der skal erstatte stjernerne. Lad os starte med det øverste venstre element i matrixen. Den mindre til den findes ved at overstrege rækken og kolonnen, som den er placeret i, altså i begge tilfælde på nummer et.

Det tal, der bliver tilbage efter gennemstregningen, er det påkrævede biord, dvs M₁₁ = 8.

På samme måde finder vi minorerne for de resterende elementer i matricen og får følgende resultat.

3. Vi definerer matrixen af ​​algebraiske additioner. Hvordan man beregner dem for hvert element, overvejede vi i en separat.

For eksempel for et element a₁₁ algebraisk addition betragtes som følger:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Udfør transponeringen af ​​den resulterende matrix af algebraiske tilføjelser (dvs. skift kolonnerne og rækkerne).

5. Det er kun tilbage at bruge formlen ovenfor til at finde den inverse matrix.

Vi kan efterlade svaret i denne form uden at dividere elementerne i matricen med tallet 11, da vi i dette tilfælde får grimme brøktal.

Kontrollerer resultatet

For at sikre, at vi fik det omvendte af den oprindelige matrix, kan vi finde deres produkt, som skal svare til identitetsmatrixen.

Som et resultat fik vi identitetsmatrixen, hvilket betyder, at vi gjorde alt rigtigt.