Indhold
I denne publikation vil vi overveje højdens grundlæggende egenskaber i en ligesidet (regelmæssig) trekant. Vi vil også analysere et eksempel på løsning af et problem om dette emne.
Bemærk: trekanten kaldes ligesidethvis alle dens sider er lige store.
Højdeegenskaber i en ligesidet trekant
Ejendom 1
Enhver højde i en ligesidet trekant er både en halveringslinje, en median og en vinkelret halveringslinje.
- BD – højden sænkes til siden AC;
- BD er medianen der deler siden AC i halvdelen, dvs AD = DC;
- BD – vinkelhalveringslinje ABC, dvs. ∠ABD = ∠CBD;
- BD er medianen vinkelret på AC.
Ejendom 2
Alle tre højder i en ligesidet trekant har samme længde.
AE = BD = CF
Ejendom 3
Højderne i en ligesidet trekant i ortocentret (skæringspunktet) er opdelt i forholdet 2:1, tællet fra det toppunkt, hvorfra de er tegnet.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Ejendom 4
Ortocentret af en ligesidet trekant er midten af de indskrevne og omskrevne cirkler.
- R er radius af den omskrevne cirkel;
- r er radius af den indskrevne cirkel;
- R = 2r (følger af Egenskaber 3).
Ejendom 5
Højden i en ligesidet trekant deler den i to retvinklede trekanter med lige areal (lige areal).
S1 =S2
Tre højder i en ligesidet trekant deler den i 6 retvinklede trekanter med samme areal.
Ejendom 6
Ved at kende længden af siden af en ligesidet trekant, kan dens højde beregnes ved hjælp af formlen:
a er siden af trekanten.
Eksempel på et problem
Radius af en cirkel afgrænset omkring en ligesidet trekant er 7 cm. Find siden af denne trekant.
Løsning
Som vi ved fra egenskaber 3 и 4, radius af den omskrevne cirkel er 2/3 af højden af en ligesidet trekant (h). Følgelig, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 cm.
Nu er det tilbage at beregne længden af trekantens side (udtrykket er afledt af formlen i Ejendom 6):
