System af lineære algebraiske ligninger

I denne publikation vil vi overveje definitionen af ​​et system af lineære algebraiske ligninger (SLAE), hvordan det ser ud, hvilke typer der er, og også hvordan man præsenterer det i en matrixform, inklusive en udvidet.

Definition af et system af lineære ligninger

System af lineære algebraiske ligninger (eller "SLAU" for kort) er et system, der generelt ser sådan ud:

• m er antallet af ligninger;
• n er antallet af variable.
• x₁, x₂,…, x_n - ukendt;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – koefficienter for ukendte;
• b₁, b₂,…, b_m – gratis medlemmer.

Koefficientindekser (a_ij) er dannet som følger:

• i er tallet på den lineære ligning;
• j er nummeret på den variabel, som koefficienten refererer til.

SLAU løsning – sådanne tal c₁C₂,…, c_n , i den indstilling, som i stedet for x₁, x₂,…, x_n, vil alle systemets ligninger blive til identiteter.

Typer af SLAU

1. homogen – alle gratis medlemmer af systemet er lig med nul (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogen – hvis betingelsen ovenfor ikke er opfyldt.
3. Firkant – antallet af ligninger er lig med antallet af ukendte, dvs m = n.

   

4. Underbestemt – antallet af ukendte er større end antallet af ligninger.

   

5. tilsidesættes Der er flere ligninger end variable.

   

Afhængigt af antallet af løsninger kan SLAE være:

1. Fælles har mindst én løsning. Desuden, hvis det er unikt, kaldes systemet bestemt, hvis der er flere løsninger, kaldes det ubestemt.

   

   SLAE ovenfor er fælles, fordi der er mindst én løsning: x = 2, y = 3.

2. uforenelige Systemet har ingen løsninger.

   

   De højre sider af ligningerne er de samme, men de venstre er det ikke. Der er således ingen løsninger.

Matrixnotation af systemet

SLAE kan repræsenteres i matrixform:

AX = B

• A er matrixen dannet af koefficienterne for de ukendte:

  

• X – kolonne med variabler:

  

• B – kolonne af gratis medlemmer:

  

Eksempel

Vi repræsenterer ligningssystemet nedenfor i matrixform:

Ved hjælp af ovenstående formularer sammensætter vi hovedmatrixen med koefficienter, kolonner med ukendte og frie medlemmer.

Fuldstændig registrering af det givne ligningssystem i matrixform:

Udvidet SLAE Matrix

Hvis til systemets matrix A tilføje gratis medlemmer kolonne til højre B, adskiller dataene med en lodret streg, får du en udvidet matrix af SLAE.

For eksemplet ovenfor ser det sådan ud:

– betegnelse af den udvidede matrix.