Krydsprodukt af vektorer

I denne publikation vil vi overveje, hvordan man finder krydsproduktet af to vektorer, giver en geometrisk fortolkning, en algebraisk formel og egenskaber for denne handling og analyserer også et eksempel på løsning af problemet.

Geometrisk fortolkning

Vektorprodukt af to ikke-nul vektorer a и b er en vektor c, som er betegnet som [a, b] or a x b.

Vektor længde c er lig med arealet af parallelogrammet konstrueret ved hjælp af vektorerne a и b.

I dette tilfælde, c vinkelret på det plan, de befinder sig i a и b, og er placeret således, at den mindste rotation fra a к b blev udført mod uret (fra enden af ​​vektorens synspunkt).

Krydsproduktformel

Produkt af vektorer a = {a_x; til_y,_z} i b = {b_x; b_y, b_z} beregnes ved hjælp af en af ​​nedenstående formler:

Tværproduktegenskaber

1. Krydsproduktet af to ikke-nul vektorer er lig med nul, hvis og kun hvis disse vektorer er kollineære.

[a, b] = 0, Hvis a || b.

2. Modulet af krydsproduktet af to vektorer er lig med arealet af parallelogrammet dannet af disse vektorer.

S_parallel = |a x b|

3. Arealet af en trekant dannet af to vektorer er lig med halvdelen af ​​deres vektorprodukt.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. En vektor, der er et krydsprodukt af to andre vektorer, er vinkelret på dem.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (m a) x a = a x (m b) = m (a x b)

7. (a + b) x c = a x c + b x c

Eksempel på et problem

Beregn krydsproduktet a = {2; 4; 5} и b = {9; -to; 3}.

Afgørelse:

Svar: a x b = {19; 43; -42}.