Fermats lille sætning

I denne publikation vil vi overveje en af ​​de vigtigste teoremer i teorien om heltal –  Fermats lille sætningopkaldt efter den franske matematiker Pierre de Fermat. Vi vil også analysere et eksempel på løsning af problemet for at konsolidere det præsenterede materiale.

Udtalelse af teoremet

1. Indledende

If p er et primtal a er et heltal, der ikke er deleligt med pderefter a^p-1 - 1 divideret med p.

Det er formelt skrevet sådan: a^p-1 ≡ 1 (mod p).

Bemærk: Et primtal er et naturligt tal, der kun er deleligt med XNUMX og sig selv uden rest.

For eksempel:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• nummer 15 divideret med 5 uden rest.

2. Alternativ

If p er et primtal, a ethvert heltal altså a^p sammenlignelig med a modulo p.

a^p ≡ a (mod p)

Historie om at finde beviser

Pierre de Fermat formulerede teoremet i 1640, men beviste det ikke selv. Senere blev dette gjort af Gottfried Wilhelm Leibniz, en tysk filosof, logiker, matematiker osv. Det menes, at han allerede havde beviset i 1683, selvom det aldrig blev offentliggjort. Det er bemærkelsesværdigt, at Leibniz opdagede sætningen selv uden at vide, at den allerede var blevet formuleret tidligere.

Det første bevis på sætningen blev offentliggjort i 1736, og det tilhører schweizeren, tyskeren og matematikeren og mekanikeren Leonhard Euler. Fermats lille sætning er et specialtilfælde af Eulers sætning.

Eksempel på et problem

Find resten af ​​et tal 2¹² on 12.

Løsning

Lad os forestille os et tal 2¹² as 2-2¹¹.

11 er et primtal, derfor får vi ved Fermats lille sætning:

2¹¹ ≡ 2 (mod 11).

derfor 2-2¹¹ ≡ 4 (mod 11).

Altså nummeret 2¹² divideret med 12 med en rest lig med 4.